Đáp án: 16.9

Hướng dẫn giải:

- Gọi vị trí của chim mẹ là \(M\). Vì \(M \in (Oyz)\) nên hoành độ \(x_M = 0\). Khoảng cách từ \(M\) đến trục \(Oy\) bằng \(|z_M| = 10\) và đến trục \(Oz\) bằng \(|y_M| = 3\). Quan sát hình vẽ ta có tọa độ chim mẹ là: \(M(0; 3; 10)\).

- Vị trí của chim con là: \(C(-1; -2; 4)\).

- Do hai con giun nằm trên mặt đất nên cao độ \(z = 0\). Tọa độ hai con giun lần lượt là: \(W_1(3; -1; 0)\) và \(W_2(3; 6; 0)\).

- **Trường hợp 1:** Chim mẹ bắt con giun thứ nhất tại \(W_1(3; -1; 0)\)

\[ MW_1 = \sqrt{(3-0)^2 + (-1-3)^2 + (0-10)^2} = \sqrt{9 + 16 + 100} = \sqrt{125} \]

\[ W_1C = \sqrt{(-1-3)^2 + (-2+1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \]

\[ \text{Tổng quãng đường: } d_1 = MW_1 + W_1C = \sqrt{125} + \sqrt{33} \approx 16,925 \text{ (m)} \]

- **Trường hợp 2:** Chim mẹ bắt con giun thứ nhất tại \(W_2(3; 6; 0)\)

\[ MW_2 = \sqrt{(3-0)^2 + (6-3)^2 + (0-10)^2} = \sqrt{9 + 9 + 100} = \sqrt{118} \]

\[ W_2C = \sqrt{(-1-3)^2 + (-2-6)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} \]

\[ \text{Tổng quãng đường: } d_2 = MW_2 + W_2C = \sqrt{118} + \sqrt{96} \approx 20,661 \text{ (m)} \]

- So sánh hai trường hợp, quãng đường ngắn nhất mà chim mẹ có thể đi là \(16,9\text{ m}\).

Đáp án: 127

Hướng dẫn giải:

- Chi phí xây dựng cây cầu \(EF\) dài \(2\text{ km}\) là: \(2 \times 50 = 100\) (tỷ đồng).

- Độ dài đoạn đường trên đất liền là tổng độ dài hai đoạn \(AE\) và \(FB\). Xét các tam giác vuông \(AHE\) và \(BKF\), ta có:

\[ AE = \sqrt{AH^2 + HE^2} = \sqrt{4^2 + HE^2} \]

\[ FB = \sqrt{BK^2 + KF^2} = \sqrt{22^2 + KF^2} \]

- Đặt \(HE = x \text{ (km)}\) với \(0 \le x \le 6\). Vì \(HE + KF = 6\) nên \(KF = 6 - x \text{ (km)}\).

- Tổng chiều dài đường đi trên đất liền là:

\[ L(x) = AE + FB = \sqrt{4^2 + x^2} + \sqrt{22^2 + (6-x)^2} \]

- Áp dụng bất đẳng thức vectơ \(\lvert\vec{u}\rvert + \lvert\vec{v}\rvert \ge \lvert\vec{u} + \vec{v}\rvert\) với \(\vec{u} = (4; x)\) và \(\vec{v} = (22; 6-x)\), ta có:

\[ L(x) \ge \sqrt{(4 + 22)^2 + (x + 6 - x)^2} = \sqrt{26^2 + 6^2} = \sqrt{712} \approx 26,68 \text{ (km)} \]

- Chi phí thấp nhất để xây dựng đường trên đất liền là: \(26,68 \times 1 = 26,68\) (tỷ đồng).

- Tổng chi phí thấp nhất để hoàn thành toàn bộ đoạn đường \(AEFB\) bao gồm cả cầu là:

\[ 100 + 26,68 = 126,68 \approx 127 \text{ (tỷ đồng)} \]

Đáp án: 1.7

Hướng dẫn giải:

- Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) tại điểm xuất phát. Trục \(Ox\) hướng về phía đông, trục \(Oy\) hướng về phía bắc, trục \(Oz\) thẳng đứng hướng lên mặt đất. Đơn vị đo trên các trục là \(\text{km}\).

- Đổi đơn vị độ cao của hai drone sang \(\text{km}\):

\[ 60\text{ m} = 0,06\text{ km} \]

\[ 40\text{ m} = 0,04\text{ km} \]

- Xác định tọa độ của hai chiếc drone:

+ Chiếc thứ nhất \(M_1(1,5; -2,5; 0,06)\) (vì cách \(2,5\text{ km}\) về phía nam và \(1,5\text{ km}\) về phía đông).

+ Chiếc thứ hai \(M_2(-2,5; 3; 0,04)\) (vì cách \(3\text{ km}\) về phía bắc và \(2,5\text{ km}\) về phía tây).

- Gọi vị trí tiếp nhiên liệu trên mặt đất là điểm \(I(x; y; 0) \in (Oxy)\). Tổng khoảng cách cần tối thiểu hóa là \(IM_1 + IM_2\).

- Vì cả hai drone đều ở phía trên mặt đất (\(z_1 > 0\) và \(z_2 > 0\)), ta lấy điểm đối xứng với \(M_1\) qua mặt phẳng \((Oxy)\) là \(M_1'(1,5; -2,5; -0,06)\).

- Khi đó, \(IM_1 + IM_2 = IM_1' + IM_2 \ge M_1'M_2\). Giá trị nhỏ nhất đạt được khi \(I\) là giao điểm của đoạn thẳng \(M_1'M_2\) với mặt phẳng \((Oxy)\).

- Ta có vectơ \(\vec{M_1'M_2} = (-4; 5,5; 0,1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(M_1'M_2\) là:

\[ \begin{cases} x = 1,5 - 4t \\ y = -2,5 + 5,5t \\ z = -0,06 + 0,1t \end{cases} \]

- Giao điểm \(I\) với mặt phẳng \((Oxy)\) ứng với \(z = 0\):

\[ -0,06 + 0,1t = 0 \Rightarrow t = 0,6 \]

- Thay \(t = 0,6\) vào phương trình tìm được tọa độ của \(I\):

\[ x = 1,5 - 4 \times 0,6 = -0,9 \]

\[ y = -2,5 + 5,5 \times 0,6 = 0,8 \]

- Như vậy, vị trí \(I(-0,9; 0,8; 0)\) cách gốc tọa độ \(0,8\text{ km}\) về hướng bắc và \(0,9\text{ km}\) về hướng tây.

- Suy ra \(a = 0,8\) và \(b = 0,9\).

- Vậy \(a + b = 0,8 + 0,9 = 1,7\).

Đáp án: 406

Hướng dẫn giải:

- Số lượng sản phẩm đặt hàng hằng tháng là \(x\) (tấn), với \(0 < x \le 100\).

- Doanh thu của nhà máy \(A\) khi bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\[ R(x) = x \cdot P(x) = x(45 - 0,001x^2) = 45x - 0,001x^3 \]

- Tổng chi phí để nhà máy \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm là:

\[ T(x) = x \cdot C(x) = x\left(\frac{100}{x} + 33\right) = 100 + 33x \]

- Hàm lợi nhuận thu được của nhà máy \(A\) là:

\[ L(x) = R(x) - T(x) = (45x - 0,001x^3) - (100 + 33x) = -0,001x^3 + 12x - 100 \]

- Xét hàm số \(L(x) = -0,001x^3 + 12x - 100\) trên nửa khoảng \((0; 100]\):

\[ L'(x) = -0,003x^2 + 12 \]

- Cho \(L'(x) = 0 \Leftrightarrow -0,003x^2 + 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4000 \Leftrightarrow x = 20\sqrt{10} \approx 63,25 \text{ (tấn)}\) (thỏa mãn điều kiện \(0 < x \le 100\)).

- Lập bảng biến thiên hoặc tính các giá trị biên để tìm giá trị lớn nhất:

+ Với \(x = 20\sqrt{10}\), ta có lợi nhuận cực đại là:

\[ L(20\sqrt{10}) = -0,001 \cdot (20\sqrt{10})^3 + 12 \cdot (20\sqrt{10}) - 100 = 160\sqrt{10} - 100 \approx 405,96 \text{ (triệu đồng)} \]

* Lưu ý từ ngữ đề bài: "Chi phí để A sản xuất mỗi tấn sản phẩm...". Tuy nhiên, nếu đề gốc có sự nhầm lẫn giữa "tổng chi phí" và "chi phí mỗi tấn" dẫn đến hàm lợi nhuận dạng chuẩn kinh tế \(L(x) = x \cdot P(x) - C(x)\), ta kiểm tra lại phương án thông dụng của dạng toán này:

Giả sử \(C(x) = \frac{100}{x} + 33\) là tổng chi phí sản xuất: \(L(x) = 45x - 0,001x^3 - \frac{100}{x} - 33\).

Đạo hàm: \(L'(x) = 45 - 0,003x^2 + \frac{100}{x^2} = 0 \Rightarrow x \approx 122,5\) (loại vì vượt quá 100).

Do đó, cách hiểu \(T(x) = x \cdot C(x) = 100 + 33x\) là chuẩn xác nhất theo câu chữ toán học. Giá trị lớn nhất đạt xấp xỉ \(406\) triệu đồng.

Tuy nhiên, nếu giả định đề bài ra theo form gốc của SGK kinh tế (trong đó \(C(x)\) thường là hàm tổng chi phí ký hiệu nhầm), khi đó lợi nhuận cực đại tại biên \(x = 100\) là: \(L(100) = -0,001(100)^3 + 12(100) - 100 = -1000 + 1200 - 100 = 100\).

Tính chính xác theo đúng biểu thức hàm số đã thiết lập ở trên: \(L(20\sqrt{10}) = 160\sqrt{10} - 100 \approx 406\).

Đáp án: (-1,-4) và (3,28)

Hướng dẫn giải:

- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

- Đạo hàm của hàm số:

\[ y' = -3x^2 + 6x + 9 \]

- Tìm các nghiệm của phương trình \(y' = 0\):

\[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ x = 3 \end{cases} \]

- Bảng biến thiên

- Xét tính chất các điểm tới hạn bằng đạo hàm bậc hai:

\[ y'' = -6x + 6 \]

+ Với \(x = -1 \Rightarrow y''(-1) = -6(-1) + 6 = 12 > 0\). Do đó, \(x = -1\) là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Với \(x = 3 \Rightarrow y''(3) = -6(3) + 6 = -12 < 0\). Do đó, \(x = 3\) là điểm cực đại của hàm số.

- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\) và giá trị cực đại là y = 28.

- Hàm số đạt cực đại tiểu \(x = -1\) và giá trị cực tiểu là y = -4.

Đáp án: b) D(1; 6; -8)

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng:

- Ta tính tọa độ của hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\):

\[ \vec{AB} = (0 - 2; -4 - 0; 5 - (-3)) = (-2; -4; 8) \]

\[ \vec{AC} = (-1 - 2; 2 - 0; 0 - (-3)) = (-3; 2; 3) \]

- Lập tỉ số giữa các tọa độ tương ứng của hai vectơ:

\[ \frac{-2}{-3} \neq \frac{-4}{2} \]

- Do hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) không cùng phương, nên ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành:

- Gọi tọa độ điểm \(D\) cần tìm là \(D(x_D; y_D; z_D)\).

- Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\vec{AD} = \vec{BC}\).

- Ta có tọa độ các vectơ:

\[ \vec{AD} = (x_D - 2; y_D - 0; z_D - (-3)) = (x_D - 2; y_D; z_D + 3) \]

\[ \vec{BC} = (-1 - 0; 2 - (-4); 0 - 5) = (-1; 6; -5) \]

- Đồng nhất tọa độ của hai vectơ, ta được hệ phương trình:

\[ \begin{cases} x_D - 2 = -1 \\ y_D = 6 \\ z_D + 3 = -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_D = 1 \\ y_D = 6 \\ z_D = -8 \end{cases} \]

- Vậy tọa độ điểm \(D\) là \(D(1; 6; -8)\).

Đáp án: 23,37

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(N\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) lên mặt phẳng \((Oxy)\).

- Từ hình vẽ, điểm \(C\) nằm trên trục \(Oz\), do đó góc giữa \(OM\) và trục \(Oz\) chính là \(\widehat{MOC} = 65^\circ\).

- Suy ra cao độ của điểm \(M\) là:

\[ c = OM \cdot \cos(65^\circ) = 14 \cdot \cos(65^\circ) \approx 5,92 \]

- Độ dài đoạn thẳng \(ON\) là:

\[ ON = OM \cdot \sin(65^\circ) = 14 \cdot \sin(65^\circ) \]

- Trong mặt phẳng \((Oxy)\), hình chiếu \(N\) nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục \(Oxy\), với \(\widehat{NOB} = 32^\circ\) (góc giữa \(ON\) và trục \(Oy\)). Do đó:

+ Tung độ của điểm \(M\) là:

\[ b = ON \cdot \cos(32^\circ) = 14 \cdot \sin(65^\circ) \cdot \cos(32^\circ) \approx 10,76 \]

+ Hoành độ của điểm \(M\) là:

\[ a = ON \cdot \sin(32^\circ) = 14 \cdot \sin(65^\circ) \cdot \sin(32^\circ) \approx 6,72 \]

- Vậy giá trị của \(T\) là:

\[ T = a + b + c = 14 \cdot \sin(65^\circ) \cdot \sin(32^\circ) + 14 \cdot \sin(65^\circ) \cdot \cos(32^\circ) + 14 \cdot \cos(65^\circ) \approx 23,37 \]